电子技术基础考纲手册
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电磁场与电磁波公式手册 · 111 式 · 95 符号

矢量分析

梯度/散度/旋度/定理/恒等式/坐标系

标量场梯度（直角坐标）

∇φ=∂φ∂xx^+∂φ∂yy^+∂φ∂zz^\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-x}{x}}\htmlClass{sym sym-hatx}{\hat{x}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-y}{y}}\htmlClass{sym sym-haty}{\hat{y}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}\htmlClass{sym sym-hatz}{\hat{z}}

梯度将标量场 φ 映射为矢量场。其方向为该点处 φ 的方向导数取最大值的方向，模等于该最大方向导数。直角坐标系下三分量分别为 φ 对 x、y、z 的偏导数乘以相应单位矢量。梯度处处垂直于过该点的等值面，指向 φ 增大的一侧；梯度为零的点为标量场的驻点。

矢量场散度（直角坐标定义）

∇⋅F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{F}=\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-x}{x}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-x}{x}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-y}{y}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-y}{y}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-z}{z}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}

散度是矢量场的标量微分算子，度量某点单位体积内净流出通量，即该点通量源的强度。其值大于零表示存在正源（通量发出），小于零表示负源（通量汇入），等于零表示该点无通量源（无源场）。直角坐标系下为各分量偏导数之和。

矢量场旋度（直角坐标定义）

∇×F=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz∣\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{F}=\begin{vmatrix}\htmlClass{sym sym-hatx}{\hat{x}}&\htmlClass{sym sym-haty}{\hat{y}}&\htmlClass{sym sym-hatz}{\hat{z}}\\\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-x}{x}}&\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-y}{y}}&\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}\\F_{\htmlClass{sym sym-x}{x}}&F_{\htmlClass{sym sym-y}{y}}&F_{\htmlClass{sym sym-z}{z}}\end{vmatrix}

旋度是矢量场的矢量微分算子，度量某点处矢量场的涡旋程度，反映该点是否存在使场线发生环流的源。旋度矢量的方向由右手定则给出（环绕轴的正向），其模等于单位面积上的最大环量。旋度处处为零的场称为无旋场，亦称保守场，可引入标量位函数。直角坐标系下可按行列式形式记忆。

拉普拉斯算子（标量，直角坐标）

∇2φ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2\htmlClass{sym sym-nabla2}{\nabla^2}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}^2\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-x}{x}^2}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}^2\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-y}{y}^2}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}^2\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}^2}

拉普拉斯算子定义为 ∇²=∇·∇，是标量梯度散度的简写。作用于标量场仍得标量场，等于该标量场对各坐标二阶偏导数之和。它反映场点处函数值与该点邻域平均值的偏离：∇²φ>0 表示该点低于周围平均值，∇²φ<0 表示高于周围平均值。在泊松方程和拉普拉斯方程中作为核心算子出现。

高斯散度定理

∮SF⋅dS=∫V(∇⋅F) dV\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}(\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{F})\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

高斯散度定理将矢量场的闭合曲面积分与其所围体积内的体积分联系起来：矢量场穿过任一闭合面的总通量，等于该面所包围体积内矢量场散度的体积分。该定理是场论积分与微分形式相互转换的桥梁，静电场高斯定理、磁通连续性等基本方程的微分形式均由它导出。

斯托克斯定理

∮lF⋅dl=∫S(∇×F)⋅dS\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{l}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}(\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{F})\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}

斯托克斯定理将矢量场沿任一闭合曲线的环量与以其为边界的曲面积分联系起来：矢量场沿闭合路径的线积分，等于以其为边界的任一曲面上该矢量场旋度的面积分。该定理是环路积分与面积分相互转换的桥梁，安培环路定律与法拉第电磁感应定律的微分形式均由它导出。曲面的选取不唯一，只要以该闭合线为边界即可。

恒等式：旋度的散度为零

∇⋅(∇×A)=0\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}(\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}})=0

该恒等式表明，任意矢量场的旋度必为无散场（横场）。数学上为二阶混合偏导在可微条件下与求导次序无关的直接推论。其物理意义为：由涡旋源产生的场不存在通量源，磁感应强度 B 即为典型的旋度无散场。

恒等式：梯度的旋度为零

∇×(∇φ)=0\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}(\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi})=0

该恒等式表明，任意标量场的梯度必为无旋场（纵场，亦称保守场）。数学上为二阶混合偏导在可微条件下与求导次序无关的直接推论。其物理意义为：保守力场沿任一闭合路径做功为零，静电场因满足此条件故可引入标量电位。

恒等式：梯度的散度等于拉普拉斯

∇⋅(∇φ)=∇2φ\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}(\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi})=\htmlClass{sym sym-nabla2}{\nabla^2}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}

该恒等式给出拉普拉斯算子的定义：标量场梯度的散度即为其拉普拉斯。由此泊松方程与拉普拉斯方程可直接由高斯定理微分形式代入电位定义导出，是静电场边值问题的理论起点。

恒等式：∇·(φA)非必背

∇⋅(φA)=φ ∇⋅A+A⋅∇φ\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}(\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}})=\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}\,\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}+\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}\cdot\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}

该恒等式为标量函数与矢量函数乘积的散度展开，遵循乘积求导法则。其结果等于标量乘以矢量的散度，加上矢量点乘标量的梯度。在推导非均匀介质中的高斯定理及电位泊松方程时常用。

恒等式：∇×(φA)非必背

∇×(φA)=φ ∇×A+∇φ×A\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}(\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}})=\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}\,\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}+\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}\times\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}

该恒等式为标量函数与矢量函数乘积的旋度展开，遵循乘积求导法则。其结果等于标量乘以矢量的旋度，加上标量的梯度叉乘矢量。在处理非均匀介质中的磁场问题及时变电磁场时常用。

恒等式：∇·(A×B)非必背

∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{B})

该恒等式给出两矢量叉乘后的散度展开，结果为 B 点乘 A 的旋度减去 A 点乘 B 的旋度。在推导坡印廷定理、电磁场能量守恒关系时常用，是矢量分析中应用最频繁的恒等式之一。

恒等式：∇(A·B)非必背

∇(A⋅B)=(A⋅∇)B+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+B×(∇×A)\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla})\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla})\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{A})

该恒等式给出两矢量点积的梯度展开，由四项组成：两项为沿对方方向的方向导数，两项为该矢量与对方旋度的叉乘。是矢量恒等式中较为复杂者，在推导电磁场动量守恒、波动方程等问题中常见。

梯度（圆柱坐标）非必背

∇φ=r^∂φ∂r+ϕ^1r∂φ∂ϕ+z^∂φ∂z\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=\htmlClass{sym sym-hatr}{\hat{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-r}{r}}+\htmlClass{sym sym-hat-phi}{\hat{\phi}}\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}+\htmlClass{sym sym-hatz}{\hat{z}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}

圆柱坐标系 (r, φ, z) 下标量场的梯度表达式。三分量分别为 φ 沿径向、方位角、轴向的偏导数。注意 φ 方向的弧长为 r·dφ，故该方向上方向导数需引入 1/r 因子，即 φ 分量为 (1/r)·∂φ/∂φ。该因子来源于圆柱坐标基矢随位置变化。

散度（圆柱坐标）非必背

∇⋅F=1r∂∂r(rFr)+1r∂Fϕ∂ϕ+∂Fz∂z\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{F}=\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-r}{r}}(rF_{\htmlClass{sym sym-r}{r}})+\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-z}{z}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}

圆柱坐标系下矢量场的散度表达式。径向分量形如 (1/r)·∂(rF_r)/∂r，其形式来源于圆柱坐标体积元中 r·dr·dφ·dz 含 r 因子。该形式保证了散度定理在圆柱坐标下的成立。

旋度（圆柱坐标）非必背

∇×F=r^ ⁣(1r∂Fz∂ϕ−∂Fϕ∂z)+ϕ^ ⁣(∂Fr∂z−∂Fz∂r)+z^ 1r ⁣(∂∂r(rFϕ)−∂Fr∂ϕ)\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{F}=\htmlClass{sym sym-hatr}{\hat{r}}\!\left(\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-z}{z}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}-\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}\right)+\htmlClass{sym sym-hat-phi}{\hat{\phi}}\!\left(\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-r}{r}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}-\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-z}{z}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-r}{r}}\right)+\htmlClass{sym sym-hatz}{\hat{z}}\,\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\!\left(\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-r}{r}}(rF_{\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}})-\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-r}{r}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}\right)

圆柱坐标系下矢量场的旋度表达式，含径向、方位角、轴向三个分量。各分量形式由行列式展开并考虑基矢随位置变化的微分关系得到。注意各分量中出现的 1/r 因子及 ∂(rF_φ)/∂r 等组合项。

梯度（球坐标）非必背

∇φ=r^∂φ∂r+θ^1r∂φ∂θ+ϕ^1rsin⁡θ∂φ∂ϕ\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=\htmlClass{sym sym-hatr}{\hat{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-r}{r}}+\htmlClass{sym sym-hat-theta}{\hat{\theta}}\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}+\htmlClass{sym sym-hat-phi}{\hat{\phi}}\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}

球坐标系 (r, θ, φ) 下标量场的梯度表达式。三分量分别为 φ 沿径向、极角、方位角方向的偏导数。注意各横向分量的几何因子：θ 方向弧长为 r·dθ，故分量含 1/r；φ 方向弧长为 r·sinθ·dφ，故分量含 1/(r·sinθ)。

散度（球坐标）非必背

∇⋅F=1r2∂∂r(r2Fr)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ Fθ)+1rsin⁡θ∂Fϕ∂ϕ\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{F}=\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}^2}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-r}{r}}(\htmlClass{sym sym-r}{r}^2F_{\htmlClass{sym sym-r}{r}})+\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}(\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}\,F_{\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}})+\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}

球坐标系下矢量场的散度表达式。径向分量形如 (1/r²)·∂(r²F_r)/∂r，其形式来源于球坐标体积元 r²·sinθ·dr·dθ·dφ 中含 r² 因子。该形式保证了散度定理在球坐标下的成立。

旋度（球坐标，r 分量）非必背

(∇×F)r=1rsin⁡θ ⁣[∂∂θ(sin⁡θ Fϕ)−∂Fθ∂ϕ](\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{F})_{\htmlClass{sym sym-r}{r}}=\frac{1}{\htmlClass{sym sym-r}{r}\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}\!\left[\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}(\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}\,F_{\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}})-\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} F_{\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}\right]

球坐标系下矢量场旋度的径向分量表达式。其结构由基矢随位置变化的微分关系导出，θ、φ 分量形式与之对称，可类比记忆。注意其中出现的 sinθ 因子与 1/(r·sinθ) 因子。

静电场

库仑/高斯/电位/能量/边界/电容

库仑定律

F=q1q24πε0r2r^\mathbf{\htmlClass{sym sym-F}{F}}=\frac{\htmlClass{sym sym-q}{q}_1 \htmlClass{sym sym-q}{q}_2}{4\pi\htmlClass{sym sym-varepsilon_0}{\varepsilon_0} \htmlClass{sym sym-r}{r}^2}\htmlClass{sym sym-hatr}{\hat{r}}

库仑定律描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。力的大小与两点电荷量乘积成正比、与距离平方成反比，方向沿二者连线；同号电荷相斥，异号相吸。比例常数 1/(4πε₀) 中 ε₀ 为真空介电常数。库仑定律是静电场全部理论的实验基础。

电场强度（点电荷）

E=q4πεr2r^\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=\frac{\htmlClass{sym sym-q}{q}}{4\pi\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon} \htmlClass{sym sym-r}{r}^2}\htmlClass{sym sym-hatr}{\hat{r}}

该式给出点电荷 q 在距其 r 处产生的电场强度。电场方向沿径向：q 为正时指向外，q 为负时指向内。式中 ε 为所在介质的介电常数，真空中取 ε₀。该式可由库仑定律除以试探电荷得到，是构成任意电荷分布电场的基元。

电位移与本构关系

D=εE=ε0εrE\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}=\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=\htmlClass{sym sym-varepsilon_0}{\varepsilon_0}\htmlClass{sym sym-varepsilon_r}{\varepsilon_r}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}

该式为电介质中的本构关系。电位移 D 仅由自由电荷决定，而电场强度 E 还受介质极化产生的束缚电荷影响，二者通过介电常数 ε 相联系。ε = ε₀·εᵣ，其中 εᵣ 为相对介电常数（真空为 1，常见介质约为 2~10）。引入 D 后高斯定理可避开束缚电荷的复杂性。

高斯定理（积分形式）

∮SD⋅dS=Q=∫Vρ dV\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=\htmlClass{sym sym-Q}{Q}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

静电场高斯定理的积分形式：穿过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面所包围体积内自由电荷的代数和。该定理是静电场基本方程之一，适用于任意介质与任意电荷分布。当电荷分布具有球、柱、面对称性时，可借此简便地求出 D 与 E。

高斯定理（微分形式）

∇⋅D=ρ\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}=\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}

静电场高斯定理的微分形式：电位移矢量在任一点的散度等于该点的自由电荷体密度。该式表明自由电荷是静电场的通量源，是静电场基本方程之一。其积分形式经高斯散度定理可得此微分形式。

电位定义

E=−∇φ\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=-\htmlClass{sym sym-nabla}{\nabla}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}

静电场为保守场（无旋场），沿任一闭合路径做功为零，故可引入标量电位 φ 描述。电场强度等于电位的负梯度，负号表示电场指向电位降低的方向。该定义是静电场引入位函数的依据，由此可将矢量场问题转化为标量场问题。

点电荷电位

φ=q4πεr\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=\frac{\htmlClass{sym sym-q}{q}}{4\pi\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon} \htmlClass{sym sym-r}{r}}

点电荷在距其 r 处产生的电位。通常取无穷远为电位参考点（φ(∞)=0），由此单值地确定空间各点电位。电位为标量场，可直接代数叠加，因此多个电荷的电位计算比电场矢量叠加更为简便。

泊松方程

∇2φ=−ρε\htmlClass{sym sym-nabla2}{\nabla^2}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=-\frac{\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}}{\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}}

泊松方程描述存在自由电荷区域内电位满足的偏微分方程。电位拉普拉斯等于负的自由电荷体密度除以介电常数。该方程是静电场边值问题的核心，给定电荷分布与边界条件即可求解电位，进而得到电场。

拉普拉斯方程

∇2φ=0\htmlClass{sym sym-nabla2}{\nabla^2}\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=0

拉普拉斯方程是泊松方程在无自由电荷区域（ρ=0）的特例。在导体内部、电介质内无电荷区域等场合，电位均满足此方程。它是静电场边值问题的核心方程，结合边界条件可唯一确定无源区电位分布（唯一性定理）。

电偶极矩

p=ql\mathbf{\htmlClass{sym sym-p}{p}}=\htmlClass{sym sym-q}{q}\mathbf{\htmlClass{sym sym-l}{l}}

电偶极矩描述一对等量异号电荷系统的电性质。p = ql，其中 q 为电荷量，l 为从负电荷指向正电荷的矢量。电偶极子是中性分子极化模型的基础，介质极化强度 P 即为单位体积内电偶极矩之和。

电偶极子电位非必背

φ=pcos⁡θ4πεr2\htmlClass{sym sym-varphi}{\varphi}=\frac{\htmlClass{sym sym-p}{p}\cos\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}{4\pi\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon} \htmlClass{sym sym-r}{r}^2}

电偶极子在远区（r ≫ l）产生的电位。由于正负电荷电位部分相消，远区电位按 1/r² 衰减，比点电荷的 1/r 更快。式中 θ 为观测点相对于偶极矩方向（p 方向）的极角，电位的角向分布呈 cosθ 形式。

电场能量

We=12∫VD⋅E dV\htmlClass{sym sym-W_e}{W_e}=\frac{1}{2}\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

静电场总储能的表达式，积分遍及电场存在的全部区域（不仅限于电荷分布区域）。能量储存于电场之中，是场的固有属性。在线性介质中，能量正比于电场强度的平方。

电场能量密度

we=12D⋅E=12εE2\htmlClass{sym sym-w_e}{w_e}=\frac{1}{2}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=\frac{1}{2}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon} \htmlClass{sym sym-E}{E}^2

单位体积内的电场能量称为电场能量密度。其值正比于电场强度的平方，总能量为能量密度的体积分。该式表明能量定域于电场存在的空间，是场的能量观的核心。

电容

C=QU\htmlClass{sym sym-C}{C}=\frac{\htmlClass{sym sym-Q}{Q}}{\htmlClass{sym sym-U}{U}}

电容定义为导体所带电荷与导体间电压之比。其值仅由导体的几何形状、相对位置及所充介质决定，与电荷量、电压无关。常见结构如平行板电容 C = εS/d、同轴电缆、孤立导体球等。

边界条件：法向 D

D1n−D2n=ρs(无面电荷则 D1n=D2n)\htmlClass{sym sym-D}{D}_{1n}-\htmlClass{sym sym-D}{D}_{2n}=\htmlClass{sym sym-rho_s}{\rho_s}\quad(\text{无面电荷则 }\htmlClass{sym sym-D}{D}_{1n}=\htmlClass{sym sym-D}{D}_{2n})

两种介质分界面上的边界条件之一。当界面上存在自由面电荷时，两侧电位移的法向分量之差等于面电荷密度；无面电荷时法向分量连续。该条件由高斯定理应用于界面处的扁平柱形高斯面得到。

边界条件：切向 E

E1t=E2t\htmlClass{sym sym-E}{E}_{1t}=\htmlClass{sym sym-E}{E}_{2t}

两种介质分界面上的边界条件之一。两侧电场强度的切向分量始终连续，这是静电场无旋（保守性）的直接结果。该条件由静电场环路定理应用于界面处的窄矩形回路得到。

恒定电场

电流密度/欧姆/焦耳/连续性/边界

电流密度

J=ρv\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}=\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}\mathbf{\htmlClass{sym sym-v}{v}}

体电流密度 J 描述空间某点处单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。其大小等于电荷体密度与载流子定向运动速度的乘积，方向规定为正电荷运动的方向（负电荷运动则相反方向）。单位为 A/m²。

欧姆定律（微分形式）

J=σE\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}=\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}

欧姆定律的微分形式，描述导体中任一点处电流密度与电场强度的正比关系。比例系数 σ 称为电导率，是材料属性（金属约为 10⁷ S/m 量级，绝缘体近乎为零）。该式是宏观欧姆定律 U=IR 在连续介质中的推广，适用条件为线性各向同性导体。

电流（积分关系）

I=∫SJ⋅dS\htmlClass{sym sym-I}{I}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}

电流的积分定义。穿过某曲面 S 的电流强度等于电流密度矢量在该面上的通量。当电流密度均匀且与截面垂直时，可简化为 I = J·S。该式建立了体分布电流（场量 J）与电路量 I 之间的联系。

焦耳定律（功率密度）

p=J⋅E=σE2\htmlClass{sym sym-p}{p}=\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma} \htmlClass{sym sym-E}{E}^2

焦耳定律的微分形式，给出导体中单位体积内转化为焦耳热的功率。其值等于电流密度与电场强度的点积，亦等于电导率乘以电场强度的平方。该式是宏观焦耳定律 P=UI 在连续介质中的推广。

焦耳总功率非必背

P=∫VJ⋅E dV\htmlClass{sym sym-P}{P}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

导体区域内总焦耳热损耗功率，为功率密度 p = J·E 在该区域上的体积分。该式用于计算电阻器件的发热、传输线损耗等工程问题。在线性均匀导体中可简化为 P = I²R。

电流连续性方程

∇⋅J=−∂ρ∂t\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}=-\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}}

电流连续性方程是电荷守恒定律的微分形式：单位时间内某点电荷密度的减少等于该点电流密度的散度。对于恒定电流，电荷分布不随时间变化（∂ρ/∂t=0），方程退化为 ∇·J=0，即恒定电流场为无源场。

恒定电场方程（电流连续）

∮SJ⋅dS=0\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=0

恒定电场的基本方程之一（积分形式）。恒定电流条件下，任一闭合面内电流密度的通量为零，即流入与流出闭合面的电流相等，闭合面内无电荷堆积。这是电荷守恒在恒定条件下的体现。

恒定电场方程（保守）

∮lE⋅dl=0\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{l}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\cdot d\mathbf{l}=0

恒定电场的基本方程之一（积分形式）。在电源外部区域，恒定电场沿任一闭合路径的环量为零，即恒定电场无旋，为保守场。由此可引入电位，并在导体中满足 J = σE。

边界条件：法向电流

J1n=J2n  ⇔  σ1E1n=σ2E2n\htmlClass{sym sym-J}{J}_{1n}=\htmlClass{sym sym-J}{J}_{2n}\;\Leftrightarrow\;\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}_1 \htmlClass{sym sym-E}{E}_{1n}=\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}_2 \htmlClass{sym sym-E}{E}_{2n}

两种导电介质分界面上的边界条件之一。恒定电流且无电荷堆积时，两侧电流密度的法向分量连续。代入本构关系 J=σE，可得 σ₁E₁ₙ = σ₂E₂ₙ，反映不同电导率介质中电场法向分量的分配关系。

边界条件：切向 E

E1t=E2t\htmlClass{sym sym-E}{E}_{1t}=\htmlClass{sym sym-E}{E}_{2t}

两种导电介质分界面上的边界条件之一。两侧电场强度的切向分量始终连续，这是恒定电场无旋性的直接结果。结合法向电流连续条件，可求解两种介质中的电场与电流分布。

电动势

E=∮lE非⋅dl\mathcal{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{l}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}_{\text{非}}\cdot d\mathbf{l}

电动势定义为非静电力对应的非保守场沿闭合路径的线积分。在电源内部，非静电场（如化学力、洛伦兹力等）做功将其他形式能量转化为电能，以维持外电路中的恒定电流。电动势是描述电源将非电能转化为电能能力的物理量，单位为伏特。

恒定磁场

毕萨/安培/磁位/能量/边界/电感

磁通连续性（积分形式）

∮SB⋅dS=0\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=0

磁通连续性定理的积分形式：磁感应强度穿过任一闭合曲面的总通量恒为零。该结果表明磁力线既无始端也无终端，必为闭合曲线；自然界不存在孤立磁荷（磁单极子）。这是恒定磁场基本方程之一，对时变场同样成立。

磁通连续性（微分形式）

∇⋅B=0\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}=0

磁通连续性定理的微分形式：磁感应强度在空间任一点的散度均为零，即磁场为无散场。该式表明磁场不存在通量源，磁力线处处闭合。它是恒定磁场基本方程之一，由积分形式经高斯散度定理导出。

毕奥-萨伐尔定律

B=μI4π∮ldl×r^r2\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}=\frac{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu} \htmlClass{sym sym-I}{I}}{4\pi}\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-l}{l}}\frac{d\mathbf{\htmlClass{sym sym-l}{l}}\times\htmlClass{sym sym-hatr}{\hat{r}}}{\htmlClass{sym sym-r}{r}^2}

毕奥-萨伐尔定律给出任意恒定电流回路所产生的磁感应强度。整个回路在观测点产生的磁场，等于各电流元 Idl 贡献的矢量叠加。每段电流元产生的磁场方向由 dl × r̂ 按右手定则判定。该定律是恒定磁场的实验基础，地位相当于静电场中的库仑定律。

磁场强度与本构关系

B=μH=μ0μrH\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}=\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}=\htmlClass{sym sym-mu_0}{\mu_0}\htmlClass{sym sym-mu_r}{\mu_r}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}

该式为磁介质中的本构关系。磁感应强度 B 受介质磁化的影响，磁场强度 H 仅由自由电流决定，二者通过磁导率 μ 相联系。μ = μ₀·μᵣ，其中 μᵣ 为相对磁导率（真空为 1，顺磁质略大于 1，抗磁质略小于 1，铁磁质远大于 1）。引入 H 后安培环路定律可避开磁化电流的复杂性。

安培环路定律（积分形式）

∮lH⋅dl=I=∫SJ⋅dS\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-l}{l}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-l}{l}}=\htmlClass{sym sym-I}{I}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}

安培环路定律的积分形式：磁场强度沿任一闭合路径的环量，等于该路径所包围曲面内穿过的总传导电流。该定律是恒定磁场基本方程之一。当电流分布具有对称性（如长直导线、无限长螺线管）时，可借此简便地求出 H 与 B。

安培环路定律（微分形式）

∇×H=J\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}=\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}

安培环路定律的微分形式：磁场强度在任一点的旋度等于该点的传导电流密度。该式表明传导电流是恒定磁场的涡旋源，是恒定磁场基本方程之一。由积分形式经斯托克斯定理导出。

矢量磁位定义

B=∇×A\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}=\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}

由磁通连续性 ∇·B=0 及矢量恒等式 ∇·(∇×A)=0，磁感应强度 B 必可表示为某矢量场 A 的旋度，A 称为矢量磁位。由于任一梯度场加入 A 不改变 B，需附加规范条件加以约束，常用库仑规范 ∇·A=0。引入矢量磁位可将磁场问题转化为求解 A 的二阶方程。

矢量磁位的泊松方程非必背

∇2A=−μJ\htmlClass{sym sym-nabla2}{\nabla^2}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}=-\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}

在库仑规范 ∇·A=0 下，矢量磁位满足的泊松方程。其形式与静电场中电位的泊松方程 ∇²φ=-ρ/ε 完全类似，源量为传导电流密度 J。求解该方程可得矢量磁位，进而由 B=∇×A 得到磁感应强度。

磁通量

Φ=∫SB⋅dS=∮lA⋅dl\htmlClass{sym sym-Phi}{\Phi}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-l}{l}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-l}{l}}

磁通量定义为磁感应强度在某曲面上的面积分。由斯托克斯定理，磁通量亦等于矢量磁位沿该曲面边界闭合路径的线积分。磁通量是计算自感、互感、电磁感应等问题的基本量，单位为韦伯（Wb）。

洛伦兹力

F=qv×B\mathbf{\htmlClass{sym sym-F}{F}}=\htmlClass{sym sym-q}{q}\mathbf{\htmlClass{sym sym-v}{v}}\times\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}

洛伦兹力公式描述运动电荷在磁场中所受的力。力的大小等于电荷量、速率与磁感应强度及 sinθ（v 与 B 夹角）的乘积，方向由 v×B 给出。当 v 与 B 平行时受力为零，垂直时受力最大。该力只改变电荷运动方向，不做功。

边界条件：法向 B

B1n=B2n\htmlClass{sym sym-B}{B}_{1n}=\htmlClass{sym sym-B}{B}_{2n}

两种介质分界面上的边界条件之一。两侧磁感应强度的法向分量始终连续，这是磁通连续性定理的直接结果。该条件由磁通连续应用于界面处的扁平柱形高斯面得到。

边界条件：切向 H

H1t−H2t=Js(无面电流则 H1t=H2t)\htmlClass{sym sym-H}{H}_{1t}-\htmlClass{sym sym-H}{H}_{2t}=\htmlClass{sym sym-J_s}{J_s}\quad(\text{无面电流则 }\htmlClass{sym sym-H}{H}_{1t}=\htmlClass{sym sym-H}{H}_{2t})

两种介质分界面上的边界条件之一。当界面上存在面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量之差等于面电流密度；无面电流时切向分量连续。该条件由安培环路定律应用于界面处的窄矩形回路得到。

自感

L=ΦI\htmlClass{sym sym-L}{L}=\frac{\htmlClass{sym sym-Phi}{\Phi}}{\htmlClass{sym sym-I}{I}}

自感定义为线圈中单位电流所产生的磁链。对于 N 匝线圈，磁链 ψ=NΦ，自感 L=ψ/I。自感仅与线圈几何形状、匝数及所围磁介质有关，与电流无关。它反映线圈自身电流产生磁通的能力，单位为亨利（H）。

互感

M=Φ21I1\htmlClass{sym sym-M}{M}=\frac{\htmlClass{sym sym-Phi}{\Phi}_{21}}{\htmlClass{sym sym-I}{I}_1}

互感定义为回路1中电流 I₁ 在回路2中所产生磁链与 I₁ 之比。互感仅与两回路几何形状、相对位置及磁介质有关，与电流无关。互感满足互易关系 M₁₂=M₂₁，这是能量守恒的必然结果。

磁场能量

Wm=12∫VB⋅H dV\htmlClass{sym sym-W_m}{W_m}=\frac{1}{2}\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

恒定磁场总储能的表达式，积分遍及磁场存在的全部区域（不仅限于电流分布区域）。能量储存于磁场之中，是场的固有属性。在线性介质中，能量正比于磁场强度的平方。

磁场能量密度

wm=12B⋅H=B22μ\htmlClass{sym sym-w_m}{w_m}=\frac{1}{2}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}=\frac{\htmlClass{sym sym-B}{B}^2}{2\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}}

单位体积内的磁场能量称为磁场能量密度。其值正比于磁场强度的平方（或磁感应强度的平方除以 μ），总能量为能量密度的体积分。该式表明能量定域于磁场存在的空间。

磁偶极矩

m=IS\mathbf{\htmlClass{sym sym-m}{m}}=\htmlClass{sym sym-I}{I}\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}

磁偶极矩描述小电流环的磁性质。m = IS，其中 I 为电流，S 为电流环面积矢量，方向由右手定则给出（与环面法向一致，符合电流绕向）。磁偶极子是原子电流、分子电流的宏观模型，介质磁化强度 M 即为单位体积内磁偶极矩之和。

时变电磁场

法拉第/位移电流/麦克斯韦/坡印廷

法拉第电磁感应定律（麦克斯韦方程·积分②）

∮lE⋅dl=−dΦdt\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-l}{l}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-l}{l}}=-\frac{d\htmlClass{sym sym-Phi}{\Phi}}{dt}

法拉第电磁感应定律指出，穿过任意闭合回路的磁通量随时间变化时，回路中产生感生电动势，其大小等于磁通变化率的负值。负号体现楞次定律，即感生电动势的方向总是使其产生的感应电流反抗磁通的变化。该定律是麦克斯韦方程组积分形式第二条，揭示了变化的磁场激发涡旋电场。

位移电流密度

Jd=∂D∂t\mathbf{J}_d=\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}}

位移电流密度定义为电位移矢量对时间的偏导数。麦克斯韦指出，随时间变化的电场与传导电流一样能产生磁场，从而修正了静态安培定律，使其对时变场保持电荷守恒自洽。位移电流与传导电流之和构成全电流，二者同为磁场的涡旋源。真空中的位移电流本质即电场的变化率，单位为 A/m²。

全电流定律（麦克斯韦方程·积分①）

∮lH⋅dl=∫S ⁣(J+∂D∂t) ⁣⋅dS\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-l}{l}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-l}{l}}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\!\left(\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}}\right)\!\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}

全电流定律指出，磁场强度沿任意闭合回路的环量等于穿过以该回路为边界的任意曲面的全电流，即传导电流与位移电流之和。麦克斯韦在此式中引入位移电流项，使安培定律适用于时变场并满足电荷守恒。该式是麦克斯韦方程组积分形式第一条，揭示了电流与变化的电场共同激发磁场。

麦克斯韦方程组·微分①（全电流定律）

∇×H=J+∂D∂t\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}=\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}+\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}}

该式为麦克斯韦方程组微分形式第一条，即全电流定律的微分形式。它表明空间任一点磁场强度的旋度等于该点传导电流密度与位移电流密度之和。相比静态安培定律，加入位移电流项后对时变场普遍成立，且与电荷守恒相容。旋度不为零表示磁场为涡旋场，由电流及变化的电场激发。

麦克斯韦方程组·微分②（电磁感应）

∇×E=−∂B∂t\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}=-\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}}

该式为麦克斯韦方程组微分形式第二条，即法拉第电磁感应定律的微分形式。它表明空间任一点电场强度的旋度等于该点磁感应强度时间变化率的负值。当磁场随时间变化时，会激发具有涡旋性质的电场，该电场的环路积分不为零，区别于静电场。负号对应楞次定律。在静态情形下退化为静电场的无旋条件。

麦克斯韦方程组·微分③（高斯定理）

∇⋅D=ρ\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}=\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}

该式为麦克斯韦方程组微分形式第三条，即高斯定理的微分形式。它表明空间任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体密度。散度大于零处有电位移线发出，小于零处有电位移线汇聚，说明自由电荷是静电场的源。该式对时变场与静态场均成立，介质中的束缚电荷已包含在本构关系中。

麦克斯韦方程组·微分④（磁通连续）

∇⋅B=0\htmlClass{sym sym-nabla-cdot}{\nabla\cdot}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}=0

该式为麦克斯韦方程组微分形式第四条，即磁通连续性定律的微分形式。它表明空间任一点磁感应强度的散度恒为零，等价于自然界不存在单独的磁荷（磁单极子）。由此磁感应线既无起点也无终点，只能形成闭合曲线或延伸至无穷远。该式对时变场与静态场均成立。

麦克斯韦方程组·积分③（高斯定理）

∮SD⋅dS=∫Vρ dV\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\htmlClass{sym sym-rho}{\rho}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

该式为麦克斯韦方程组积分形式第三条，即高斯定理的积分形式。它表明穿过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围体积内的总自由电荷量，与闭合面外的电荷及电荷的具体分布无关。该式揭示了自由电荷是电位移线的源，对时变场与静态场均成立，是静电场计算的基础。

麦克斯韦方程组·积分④（磁通连续）

∮SB⋅dS=0\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=0

该式为麦克斯韦方程组积分形式第四条，即磁通连续性定律的积分形式。它表明穿过任意闭合曲面的磁通量代数和恒等于零，即进入闭合面的磁感应线数等于穿出的磁感应线数。这说明磁感应线处处闭合，不存在孤立的磁荷。该式是磁单极子不存在的直接表述，对所有电磁场普遍成立。

本构关系（介质特性）

D=εE,B=μH,J=σE\mathbf{\htmlClass{sym sym-D}{D}}=\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}},\quad\mathbf{\htmlClass{sym sym-B}{B}}=\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}},\quad\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}=\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}

本构关系描述了介质对电磁场的响应特性，将电位移、磁感应强度和传导电流密度分别与电场强度和磁场强度联系起来。其中介电常数 ε 表征介质的极化性质，磁导率 μ 表征磁化性质，电导率 σ 表征导电性质。这三个介质方程为麦克斯韦方程组提供了补充约束，使方程组成为可解的封闭系统。对于线性各向同性介质，ε、μ、σ 为常数。

坡印廷矢量（瞬时）

S=E×H\htmlClass{sym sym-mathbfS}{\mathbf{S}}=\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\times\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}

坡印廷矢量定义为电场强度与磁场强度的叉积，表示单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的电磁能量，即电磁能流密度。其方向同时垂直于电场与磁场，并遵循右手定则，指向电磁波的传播方向。单位为 W/m²。该矢量描述了电磁能量在空间中的瞬时流动情况，是坡印廷定理的物理基础。

坡印廷定理（能量守恒）非必背

−∮S(E×H)⋅dS=∂∂t ⁣∫V(we+wm)dV+∫VJ⋅E dV-\htmlClass{sym sym-oint}{\oint}_{\htmlClass{sym sym-S}{S}}(\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\times\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}})\cdot d\mathbf{\htmlClass{sym sym-S}{S}}=\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}}\!\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}(\htmlClass{sym sym-w_e}{w_e}+\htmlClass{sym sym-w_m}{w_m})\htmlClass{sym sym-dV}{dV}+\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}\cdot\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

坡印廷定理是电磁场的能量守恒定律。它表明单位时间内流入任一闭合曲面的净电磁能量等于该闭合面所包围体积内电磁场储能的增加率与导体中焦耳热损耗功率之和。等号左端为坡印廷矢量在闭合面上的负通量，右端第一项为电场与磁场储能之和的时间变化率，第二项为传导电流的焦耳损耗。该定理由麦克斯韦方程组直接导出。

复坡印廷矢量（时间平均）

Sav=12 Re ⁣(E˙×H˙∗)\htmlClass{sym sym-mathbfS}{\mathbf{S}}_{av}=\frac{1}{2}\,\htmlClass{sym sym-mathrmRe}{\mathrm{Re}}\!\left(\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}}\times\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}}^{*}\right)

复坡印廷矢量用于表示时谐电磁场在一个周期内时间平均的能流密度。式中Ė、Ḣ为电场与磁场的复数振幅（峰值），星号表示取共轭，系数二分之一来源于峰值与有效值之间的换算。若Ė、Ḣ取有效值，则系数二分之一消失。该式避免了瞬时坡印廷矢量的周期性波动，广泛用于计算时谐场的平均辐射功率与传输功率，单位为 W/m²。

波动方程（无源区）

∇2E−με∂2E∂t2=0\htmlClass{sym sym-nabla2}{\nabla^2}\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}-\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial}^2\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-t}{t}^2}=0

该式为无源、均匀、线性、各向同性媒质中电场强度满足的齐次波动方程。它由无源区的麦克斯韦旋度方程消去磁场后导出，磁场强度同样满足同形的波动方程。方程描述了电磁扰动以波的形式在空间中传播，波速为 1/√(με)。该方程是研究电磁波传播、辐射与散射问题的基本方程。

时谐场复数形式①（全电流）非必背

∇×H˙=J˙+jωεE˙\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}}=\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}}

该式为时谐场情形下全电流定律的复数（相量）形式。对于随时间按正弦规律变化的电磁场，采用复数表示后，对时间的偏导数替换为乘以 jω，从而将时域微分方程转化为频域代数方程，简化求解。复振幅在原符号上方加圆点以示区别，且仅保留空间变量。该法适用于稳态时谐场分析，是交流电路与电磁场频域分析的基础。

时谐场复数形式②（法拉第）非必背

∇×E˙=−jωμH˙\htmlClass{sym sym-nabla-times}{\nabla\times}\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}}=-\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}}

该式为时谐场情形下法拉第电磁感应定律的复数（相量）形式。将磁通密度的时域偏导替换为乘以 jω 后得到，描述了时谐磁场与时谐电场之间的耦合关系。该式在无源区与有源区均成立，是无源区波动方程导出的基础，常与时谐形式的全电流定律联立求解电磁波的传播问题。

平面电磁波

波方程/波阻抗/衰减/趋肤/极化/反射

均匀平面波（瞬时式）

E(z,t)=x^ Emcos⁡(ωt−βz)\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}(\htmlClass{sym sym-z}{z},\htmlClass{sym sym-t}{t})=\htmlClass{sym sym-hatx}{\hat{x}}\,\htmlClass{sym sym-E_m}{E_m}\cos(\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-t}{t}-\htmlClass{sym sym-beta}{\beta} \htmlClass{sym sym-z}{z})

该式描述沿正 z 方向传播、电场沿 x 方向线偏振的均匀平面波电场。式中 ω 为角频率，β 为相位常数，Em 为电场振幅。均匀平面波指在垂直于传播方向的平面上电场与磁场的振幅和相位处处相同，是电磁波最基本的形式，也是分析复杂波动问题的基准解。实际中远区辐射波在天线附近可近似为均匀平面波。

相位常数

β=ωμε\htmlClass{sym sym-beta}{\beta}=\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\sqrt{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}}

相位常数 β 表示电磁波传播单位距离时相位的变化量，亦称波数（无耗媒质中）。它由波的角频率与媒质电磁参数决定，单位为 rad/m。β 越大，波长越短，相位变化越快。在无耗介质中 β 与频率成正比，即无色散；有耗介质中 β 与频率关系复杂，导致色散现象。该量是平面波相速、波长与波阻抗计算的基础。

波长

λ=2πβ\htmlClass{sym sym-lambda}{\lambda}=\frac{2\pi}{\htmlClass{sym sym-beta}{\beta}}

波长 λ 定义为电磁波相位相差 2π 的两个相邻等相面之间的距离，即一个完整空间周期对应的长度。它等于 2π 与相位常数之比，单位为 m。波长与频率成反比，频率越高波长越短。真空中频率为 3 GHz 的电磁波波长约 10 cm，频率为 1 MHz 的电磁波波长约 300 m。波长是划分电磁波谱的基本参数。

相速

vp=ωβ=1με\htmlClass{sym sym-v_p}{v_p}=\frac{\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}}{\htmlClass{sym sym-beta}{\beta}}=\frac{1}{\sqrt{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}}}

相速 vp 定义为电磁波等相面沿传播方向推进的速度，等于角频率与相位常数之比。在无耗、均匀、各向同性媒质中，相速仅由介质的磁导率与介电常数决定，且与频率无关，即无色散。真空中相速等于光速 c，约为 3×10⁸ m/s。在一般介质中相速可小于或大于光速，但并不违反相对论，因其不携带能量或信息。

真空中电磁波速度（光速）

c=1μ0ε0≈3×108 m/s\htmlClass{sym sym-c}{c}=\frac{1}{\sqrt{\htmlClass{sym sym-mu_0}{\mu_0}\htmlClass{sym sym-varepsilon_0}{\varepsilon_0}}}\approx 3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}

该式给出真空中电磁波的传播速度，即光速。将真空磁导率 μ0 与真空介电常数 ε0 代入相速公式后得到约 3×10⁸ m/s，与实验测得的光速一致。这一结果由麦克斯韦首先得出，预言了电磁波的存在并揭示了光的电磁本质，是电磁场理论的核心结论之一。光速是物理学基本常数，记为 c。

本征阻抗（波阻抗）

η=με\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}=\sqrt{\frac{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}}{\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}}}

本征阻抗 η 又称波阻抗，定义为均匀平面波中电场强度与磁场强度振幅之比。它仅由媒质的磁导率与介电常数决定，单位为欧姆。在无耗媒质中 η 为实数，表示电场与磁场同相；在有耗媒质中 η 为复数，表示二者存在相位差。真空本征阻抗约为 377 Ω。波阻抗是分析电磁波在介质交界面反射与透射的关键参数。

真空本征阻抗

η0=μ0ε0≈120π≈377 Ω\htmlClass{sym sym-eta_0}{\eta_0}=\sqrt{\frac{\htmlClass{sym sym-mu_0}{\mu_0}}{\htmlClass{sym sym-varepsilon_0}{\varepsilon_0}}}\approx 120\pi\approx 377\,\Omega

真空本征阻抗 η0 是均匀平面波在真空中电场强度与磁场强度之比，由真空磁导率 μ0 与真空介电常数 ε0 决定。其数值等于 120π，约为 377 Ω。该值是天线工程、微波技术与电磁兼容分析中的常用基准常数。在真空中传播的电磁波，电场与磁场同相，二者振幅之比恒为 377 Ω。

E 与 H 的关系

H=1ηk^×E\mathbf{\htmlClass{sym sym-H}{H}}=\frac{1}{\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}}\hat{k}\times\mathbf{\htmlClass{sym sym-E}{E}}

该式描述均匀平面波中电场强度、磁场强度与传播方向之间的关系。电场、磁场与传播方向三者两两正交，构成右手正交坐标系。电场与磁场均垂直于传播方向，即电磁波为横电磁波。磁场振幅等于电场振幅除以波阻抗，方向由传播方向与电场方向的叉积确定。该关系是平面波的基本性质。

有耗媒质传播常数

γ=α+jβ=jωμ(σ+jωε)\htmlClass{sym sym-gamma}{\gamma}=\htmlClass{sym sym-alpha}{\alpha}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-beta}{\beta}=\sqrt{\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}(\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon})}

该式给出有耗媒质中均匀平面波的复传播常数。其实部 α 为衰减常数，描述波幅随传播距离按指数规律 e^(−αz) 衰减，单位为 Np/m；虚部 β 为相位常数，描述相位随距离的变化。α 与 β 均由角频率、磁导率、电导率与介电常数共同决定。有耗媒质中一般存在色散，且电导率越大衰减越强。该式是分析电磁波在导体或有耗介质中传播的基础。

良导体参数

α=β=ωμσ2\htmlClass{sym sym-alpha}{\alpha}=\htmlClass{sym sym-beta}{\beta}=\sqrt{\frac{\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}}{2}}

在良导体条件 σ 远大于 ωε 下，复传播常数简化为衰减常数与相位常数相等的形式。两者均正比于频率、磁导率与电导率乘积的平方根。良导体中电磁波衰减极快，相速远小于真空中光速，且呈现显著色散。例如铜在 1 MHz 下趋肤深度仅约 66 μm。该结论是分析导体中电磁损耗与屏蔽问题的依据。

趋肤深度

δ=2ωμσ=1α\htmlClass{sym sym-delta}{\delta}=\sqrt{\frac{2}{\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-sigma}{\sigma}}}=\frac{1}{\htmlClass{sym sym-alpha}{\alpha}}

趋肤深度 δ 定义为电磁波在良导体中传播时振幅衰减到初始值的 1/e 所经过的距离，等于衰减常数的倒数。它反比于频率、磁导率与电导率乘积的平方根，即频率越高、导体导电性越好，趋肤深度越小。例如铜在工频 50 Hz 下趋肤深度约 9.3 mm，在 1 MHz 下仅约 66 μm。趋肤效应是高频下导体交流电阻增大、电流集中于表面的物理原因。

垂直入射反射系数

Γ=η2−η1η2+η1\htmlClass{sym sym-Gamma}{\Gamma}=\frac{\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_2-\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_1}{\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_2+\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_1}

反射系数 Γ 定义为介质交界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比，由两侧媒质的本征阻抗决定。当两种媒质波阻抗相等时反射系数为零，即完全匹配，电磁波全部透射，无反射。当波阻抗差异越大，反射越强。反射系数为正表示反射波与入射波同相，为负表示反相。该式适用于垂直入射情形。

垂直入射透射系数非必背

τ=2η2η2+η1=1+Γ\htmlClass{sym sym-tau}{\tau}=\frac{2\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_2}{\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_2+\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}_1}=1+\htmlClass{sym sym-Gamma}{\Gamma}

透射系数 τ 定义为介质交界面上透射波电场强度与入射波电场强度之比，由两侧媒质的本征阻抗决定。由交界面电场切向连续条件可得 τ 恒等于 1 加 Γ。当反射系数为零时透射系数为 1。该式与反射系数共同描述了电磁波在介质交界面的能量分配关系，适用于垂直入射情形。

驻波比

VSWR=1+∣Γ∣1−∣Γ∣\htmlClass{sym sym-mathrmVSWR}{\mathrm{VSWR}}=\frac{1+|\htmlClass{sym sym-Gamma}{\Gamma}|}{1-|\htmlClass{sym sym-Gamma}{\Gamma}|}

电压驻波比 VSWR 定义为传输线上驻波电场最大值与最小值之比，由反射系数的模决定。当反射系数模为零即完全匹配时，驻波比为 1，沿线无驻波；当反射系数模为 1 即全反射时，驻波比趋于无穷，沿线形成纯驻波。驻波比是衡量传输线匹配程度的工程参量，通常要求小于 1.5 或 2。

极化判据（圆极化条件）

Ex=Em,  Ey=jEm  ⇒  圆极化\htmlClass{sym sym-E}{E}_x=\htmlClass{sym sym-E_m}{E_m},\;\htmlClass{sym sym-E}{E}_y=jE_m\;\Rightarrow\;\text{圆极化}

电磁波的极化由电场矢量端点随时间描绘的轨迹决定。当电场的两个正交分量振幅相等且相位差为正负 90 度时，电场端点描绘出圆，称为圆极化，分左旋与右旋。当两分量振幅不等或相位差为任意值时，端点描绘出椭圆，称为椭圆极化，为最一般情形。当两分量同相或反相时，端点沿直线运动，称为线极化。极化特性在雷达、通信与天线设计中具有重要意义。

导行电磁波

传输线/波导/截止/相速群速/谐振

电报方程①（电压）

∂U∂z=−(R+jωL) I\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-U}{U}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}=-(\htmlClass{sym sym-R}{R}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-L}{L})\,\htmlClass{sym sym-I}{I}

该式为电报方程的电压方程，描述均匀传输线上电压沿轴向的变化率。式中 R 为单位长串联电阻，L 为单位长串联电感。该式表明沿线电压降等于单位长串联阻抗与电流的乘积的负值。该式采用相量形式，适用于时谐激励下的稳态分析，是分布参数电路理论的基本方程之一。

电报方程②（电流）

∂I∂z=−(G+jωC) U\frac{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-I}{I}}{\htmlClass{sym sym-partial}{\partial} \htmlClass{sym sym-z}{z}}=-(\htmlClass{sym sym-G}{G}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-C}{C})\,\htmlClass{sym sym-U}{U}

该式为电报方程的电流方程，描述均匀传输线上电流沿轴向的变化率。式中 G 为单位长并联电导，C 为单位长并联电容。该式表明沿线电流的变化等于单位长并联导纳与电压的乘积的负值，对应经由并联支路流失的电流。该式与电压方程联立构成传输线基本方程组，适用于时谐稳态分析。

特性阻抗（一般）

Z0=R+jωLG+jωC\htmlClass{sym sym-Z_0}{Z_0}=\sqrt{\frac{\htmlClass{sym sym-R}{R}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-L}{L}}{\htmlClass{sym sym-G}{G}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-C}{C}}}

特性阻抗 Z0 定义为传输线上行波状态下电压与电流之比，仅由传输线的分布参数决定，与信号源频率及负载无关。它等于单位长串联阻抗与并联导纳之比的平方根。特性阻抗是传输线匹配设计的关键参数，当负载阻抗等于特性阻抗时线上无反射，实现行波传输，传输效率最高。

传输线传播常数（一般）

γ=(R+jωL)(G+jωC)=α+jβ\htmlClass{sym sym-gamma}{\gamma}=\sqrt{(\htmlClass{sym sym-R}{R}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-L}{L})(\htmlClass{sym sym-G}{G}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega} \htmlClass{sym sym-C}{C})}=\htmlClass{sym sym-alpha}{\alpha}+\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-beta}{\beta}

复传播常数 γ 描述信号沿传输线传播时的衰减与相移特性，等于单位长串联阻抗与并联导纳乘积的平方根。其实部 α 为衰减常数，表示信号幅值按指数规律衰减，单位为 Np/m；虚部 β 为相位常数，表示信号相位随距离线性滞后，单位为 rad/m。对于无耗线 α 为零，信号仅发生相移而无衰减。

无耗传输线

Z0=LC,γ=jωLC\htmlClass{sym sym-Z_0}{Z_0}=\sqrt{\frac{\htmlClass{sym sym-L}{L}}{\htmlClass{sym sym-C}{C}}},\quad\htmlClass{sym sym-gamma}{\gamma}=\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-omega}{\omega}\sqrt{LC}

在无耗传输线条件下，即串联电阻 R 与并联电导 G 均为零时，特性阻抗简化为 L 与 C 之比的平方根，为纯实数；复传播常数简化为 jω 乘以根号下 LC，为纯虚数。此时衰减常数 α 为零，信号沿线传播只产生相移而无能量损耗，传输效率为理想值。该结论是低耗传输线工程估算的基础。

矩形波导截止频率

fc=12με(ma)2+(nb)2\htmlClass{sym sym-f_c}{f_c}=\frac{1}{2\sqrt{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}}}\sqrt{\left(\frac{\htmlClass{sym sym-m}{m}}{\htmlClass{sym sym-a}{a}}\right)^{2}+\left(\frac{\htmlClass{sym sym-n}{n}}{\htmlClass{sym sym-b}{b}}\right)^{2}}

该式给出矩形波导中横电模或横磁模对应于模指数 (m, n) 的截止频率。式中 a 为波导宽边尺寸，b 为窄边尺寸，m、n 为非负整数，对应横向半波数。当电磁波频率高于截止频率时该模可传播，低于截止频率时该模被截止，呈指数衰减。该式表明波导具有高通特性，且不同模具有不同截止频率，是波导模式分析的基础。

截止波长非必背

λc=vfc=2(m/a)2+(n/b)2\htmlClass{sym sym-lambda_c}{\lambda_c}=\frac{v}{\htmlClass{sym sym-f_c}{f_c}}=\frac{2}{\sqrt{(\htmlClass{sym sym-m}{m}/\htmlClass{sym sym-a}{a})^{2}+(\htmlClass{sym sym-n}{n}/\htmlClass{sym sym-b}{b})^{2}}}

截止波长 λc 定义为对应于截止频率的自由空间波长。仅当电磁波的工作波长小于截止波长，即频率高于截止频率时，该模式才能在波导中传播。该式表明波导对波长具有筛选作用，即高通特性。矩形波导主模 TE10 的截止波长等于 2a，是波导单模传输设计的依据。

波导波长

λg=λ1−(fc/f)2\htmlClass{sym sym-lambda_g}{\lambda_g}=\frac{\htmlClass{sym sym-lambda}{\lambda}}{\sqrt{1-(\htmlClass{sym sym-f_c}{f_c}/\htmlClass{sym sym-f}{f})^{2}}}

波导波长 λg 定义为导行电磁波沿波导轴向的相邻等相面间距。由于波导中波的传播方向与轴向不一致，轴向波长大于自由空间波长。当工作频率接近截止频率时波导波长趋于无穷。波导波长是波导元件设计与阻抗匹配计算的重要参数，区别于自由空间波长与截止波长。

波导相速与群速

vp=v1−(fc/f)2,vg=v1−(fc/f)2,vpvg=v2\htmlClass{sym sym-v_p}{v_p}=\frac{v}{\sqrt{1-(\htmlClass{sym sym-f_c}{f_c}/\htmlClass{sym sym-f}{f})^{2}}},\quad \htmlClass{sym sym-v_g}{v_g}=v\sqrt{1-(\htmlClass{sym sym-f_c}{f_c}/\htmlClass{sym sym-f}{f})^{2}},\quad v_pv_g=v^{2}

该式给出波导中导行波的相速与群速。由于波导具有色散特性，相速大于媒质中的光速 v，群速小于 v，二者乘积恒等于 v 的平方。相速描述等相面推进的表观速度，可超过光速，但不携带能量或信息；群速描述信号包络与能量传播的真实速度，始终小于光速。波导中能量与信息均以群速传播。

矩形谐振腔谐振频率非必背

fmnp=12με(ma)2+(nb)2+(pd)2\htmlClass{sym sym-f}{f}_{mnp}=\frac{1}{2\sqrt{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}\htmlClass{sym sym-varepsilon}{\varepsilon}}}\sqrt{\left(\frac{\htmlClass{sym sym-m}{m}}{\htmlClass{sym sym-a}{a}}\right)^{2}+\left(\frac{\htmlClass{sym sym-n}{n}}{\htmlClass{sym sym-b}{b}}\right)^{2}+\left(\frac{p}{\htmlClass{sym sym-d}{d}}\right)^{2}}

该式给出矩形谐振腔的谐振频率。腔体三边尺寸为 a、b、d，m、n、p 为对应三方向的半波数。仅当激励频率等于某一谐振频率时腔内形成稳定的驻波振荡，偏离谐振频率则响应急剧下降。最低阶谐振模通常为 TE101 模。矩形谐振腔是微波波段常用的谐振元件，品质因数较高，用于滤波器与频率计等。

电磁波辐射

滞后位/偶极子/辐射电阻/天线参量

滞后位（推迟位）概念非必背

A˙(r)=μ4π∫VJ˙ e−jkrr dV\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-A}{A}}}(\mathbf{\htmlClass{sym sym-r}{r}})=\frac{\htmlClass{sym sym-mu}{\mu}}{4\pi}\htmlClass{sym sym-int}{\int}_{\htmlClass{sym sym-V}{V}}\frac{\dot{\mathbf{\htmlClass{sym sym-J}{J}}}\,e^{-jkr}}{\htmlClass{sym sym-r}{r}}\,\htmlClass{sym sym-dV}{dV}

滞后位又称推迟位，描述时变电磁场中源对场点作用的滞后效应。由于电磁相互作用以有限光速传播，场点处的矢量位并不瞬时反映同一时刻的源分布，而是反映源在较早时刻的状态。在时谐情形下该滞后效应表现为相位因子 e^(−jkr)，其中 r 为源点到场点的距离，k 为波数。滞后位是计算天线辐射场的基本工具。

赫兹偶极子远区辐射场非必背

E˙θ=jηkI0l4πrsin⁡θ e−jkr,H˙ϕ=E˙θη\dot{\htmlClass{sym sym-E}{E}}_{\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}=\htmlClass{sym sym-j}{j}\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}\frac{kI_0 \htmlClass{sym sym-l}{l}}{4\pi \htmlClass{sym sym-r}{r}}\sin\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}\,e^{-jkr},\quad \dot{\htmlClass{sym sym-H}{H}}_{\htmlClass{sym sym-phi}{\phi}}=\frac{\dot{\htmlClass{sym sym-E}{E}}_{\htmlClass{sym sym-theta}{\theta}}}{\htmlClass{sym sym-eta}{\eta}}

该式给出赫兹偶极子在远区的辐射场。赫兹偶极子指长度远小于工作波长的短电流元。远区场中电场仅有 θ 分量，磁场仅有 φ 分量，二者互相垂直且同相，振幅均与距离 r 成反比，并包含 sinθ 方向因子，在偶极子轴向辐射为零，在垂直方向辐射最强。该场具有球面波结构，是分析各种线天线辐射的基础。

赫兹偶极子辐射功率非必背

P=40π2 ⁣(I0lλ)2\htmlClass{sym sym-P}{P}=40\pi^{2}\!\left(\frac{\htmlClass{sym sym-I_0}{I_0} \htmlClass{sym sym-l}{l}}{\htmlClass{sym sym-lambda}{\lambda}}\right)^{2}

该式给出赫兹偶极子的总辐射功率，即单位时间内辐射到远区全部空间的电磁能量。式中 I0 为电流幅值（峰值），l 为偶极子长度，λ 为工作波长。该结果由复坡印廷矢量在包围偶极子的远区球面上积分得到。辐射功率与电流平方及电尺寸平方（l/λ）的平方成正比，频率越高或偶极子越长，辐射能力越强。

赫兹偶极子辐射电阻非必背

Rr=80π2 ⁣(lλ)2\htmlClass{sym sym-R_r}{R_r}=80\pi^{2}\!\left(\frac{\htmlClass{sym sym-l}{l}}{\htmlClass{sym sym-lambda}{\lambda}}\right)^{2}

辐射电阻 Rr 定义为辐射功率与馈电点电流有效值平方之比的等效电阻，即 Rr 等于 P 除以二分之一 I0 平方。它是衡量天线辐射能力的等效参量，辐射电阻越大，相同馈电电流下辐射功率越高。对于电小偶极子（l 远小于 λ），辐射电阻很小，辐射能力较弱。该量将辐射问题转化为电路问题，便于工程计算。

半波振子辐射电阻非必背

Rr≈73 Ω(2l=λ/2)\htmlClass{sym sym-R_r}{R_r}\approx 73\,\Omega\quad(2\htmlClass{sym sym-l}{l}=\htmlClass{sym sym-lambda}{\lambda}/2)

半波对称振子指总长度等于半波长的对称振子天线，是工程中常用的基准天线。其辐射电阻约为 73 Ω，方向性系数约为 1.64，对应增益略低于该值。半波振子的输入阻抗接近纯电阻且数值适中，便于与常见馈线匹配，广泛应用于通信、广播与雷达系统中。该天线是天线理论与设计的重要参考标准。

方向性与增益

D=4πΩA,G=ηaD\htmlClass{sym sym-D}{D}=\frac{4\pi}{\Omega_A},\quad \htmlClass{sym sym-G}{G}=\eta_{a}\htmlClass{sym sym-D}{D}

方向性系数 D 定义为天线在最大辐射方向上的辐射强度与各向均匀辐射时平均辐射强度之比，等于 4π 除以波束立体角。增益 G 等于天线效率与方向性系数的乘积，同时计入了方向性与损耗。理想无耗天线中增益等于方向性系数。增益是衡量天线集中辐射能量能力的核心参数，单位常用 dBi 表示。

有效面积与方向性关系

Ae=λ24π D\htmlClass{sym sym-A_e}{A_e}=\frac{\htmlClass{sym sym-lambda}{\lambda}^{2}}{4\pi}\,\htmlClass{sym sym-D}{D}

有效面积 Ae 定义为接收天线输出端获得的功率与入射平面波功率密度之比，表征天线捕获电磁波能量的能力。该式表明有效面积与方向性系数成正比，比例常数为波长平方除以 4π。该关系对任意天线均成立。无耗理想天线的有效面积与增益之间满足 Ae 等于波长平方乘以 G 除以 4π，是天线收发互易性的体现。