给定矢量场 $\mathbf{F}=xz\,\hat{x}+yz\,\hat{y}+(x^{2}+y^{2})\,\hat{z}$，求其散度 $\nabla\cdot\mathbf{F}$ 与旋度 $\nabla\times\mathbf{F}$，并判断该场是有源场还是有旋场。

验证矢量场 $\mathbf{F}=(2xy+z^{2})\,\hat{x}+(x^{2}+2yz)\,\hat{y}+(y^{2}+2xz)\,\hat{z}$ 为无旋场，并求其标量位函数 $\varphi$ 使 $\mathbf{F}=-\nabla\varphi$。

矢量场 $\mathbf{F}=-y\,\hat{x}+x\,\hat{y}$。取 $xy$ 平面上半径 $R=2\ \mathrm{m}$ 的圆（法向 $\hat{z}$），分别计算环量 $\oint_l\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}$ 与旋度面积分 $\int_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$，验证斯托克斯定理。

矢量场 $\mathbf{F}=x\,\hat{x}+y\,\hat{y}+z\,\hat{z}$。取以原点为心、半径 $R=2\ \mathrm{m}$ 的球面 $S$（包围球体 $V$）。分别计算 $\int_V(\nabla\cdot\mathbf{F})\,\mathrm{d}V$ 与 $\oint_S\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$，验证高斯散度定理。

标量场 $\varphi(r,\varphi,z)=5r^{2}\cos\varphi$。求 $P(r=2,\varphi=\pi/3,z=0)$ 处的梯度 $\nabla\varphi$、梯度的模 $|\nabla\varphi|$（即最大方向导数），以及沿 $\hat{\varphi}$ 方向的方向导数。

半径 $R=1\ \mathrm{cm}$ 的球体内均匀分布体电荷，密度 $\rho=10^{-6}\ \mathrm{C/m^3}$，球外为真空。求球内 ($r=0.5\ \mathrm{cm}$)、球面 ($r=R$)、球外 ($r=2\ \mathrm{cm}$) 三点处的电场强度 $\mathbf{E}$。$k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$。

真空中点电荷 $q_1=+3\ \mathrm{nC}$ 位于原点，$q_2=-1\ \mathrm{nC}$ 位于 $(3,0,0)\ \mathrm{m}$ 处。求 $P(1,0,0)$ 点的电位 $\varphi_P$ 与电场强度 $\mathbf{E}_P$。$\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}= 9\times10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$。

空气填充的同轴电缆内导体半径 $a=1\ \mathrm{mm}$，外导体半径 $b=5\ \mathrm{mm}$，长度 $L=1\ \mathrm{m}$。在内、外导体间加电压 $U_0=100\ \mathrm{V}$（内导体高电位）。求单位长度电容 $C'$、内导体表面电荷线密度 $\rho_l$ 及表面电场 $E(a)$。

真空中一无限长直线上均匀分布线电荷，线密度 $\rho_l=1\ \mu\mathrm{C/m}$。用高斯定理求距线 $r$ 处的电场强度 $\mathbf{E}(r)$，并计算 $r=0.5\ \mathrm{m}$ 处的值。$\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$。

平行板电容器极板面积 $S=100\ \mathrm{cm^2}=10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，间距 $d=1\ \mathrm{mm}$，填充相对介电常数 $\varepsilon_r=2$ 的介质，充电至电压 $U=200\ \mathrm{V}$。求电容器储能 $W_e$ 与板间能量密度 $w_e$。

两层无耗介电质分界面 $z=0$：$z>0$ 区 $\varepsilon_{r1}=2$，$z<0$ 区 $\varepsilon_{r2}=4$。已知 $z>0$ 侧电场 $\mathbf{E}_1=3\,\hat{x}+2\,\hat{z}\ \mathrm{V/m}$（$\hat{x}$ 为切向、$\hat{z}$ 为界面法向）。求 $z<0$ 侧电场 $\mathbf{E}_2$、电位移 $\mathbf{D}_2$，并验证电场线的折射关系。

一段长 $L=100\ \mathrm{m}$、横截面 $A=1\ \mathrm{mm^2}=10^{-6}\ \mathrm{m^2}$ 的铜导线两端加电压 $U=10\ \mathrm{V}$。铜电导率 $\sigma=5.8\times10^{7}\ \mathrm{S/m}$。求导线内电场 $E$、电流密度 $J$、总电流 $I$、电阻 $R$ 及消耗的焦耳功率 $P$。

z=0 平面两侧分布两种导电媒质：z>0 区域 $\sigma_1=1\ \mathrm{S/m}$，z<0 区域 $\sigma_2=0.01\ \mathrm{S/m}$，两侧介电常数均为 $\varepsilon_0$。已知上半空间电场 $\mathbf{E}_1=2\,\hat{x}+1\,\hat{z}\ \mathrm{V/m}$。求下半空间电场 $\mathbf{E}_2$，并计算分界面上的自由面电荷密度 $\rho_s$。

一半球形接地电极埋于地面，半径 $a=0.5\ \mathrm{m}$，土壤电导率 $\sigma=0.01\ \mathrm{S/m}$。短路时注入大地的电流 $I=1000\ \mathrm{A}$。求接地电阻 $R_g$、地面上距接地极中心 $r=10\ \mathrm{m}$ 处的电位，以及人在该处以步长 $b=0.8\ \mathrm{m}$ 沿径向跨步时两脚间的跨步电压 $U_{\text{step}}$。

一导电媒质介电常数 $\varepsilon$、电导率 $\sigma$，内部初始体电荷密度为 $\rho_0$（$t=0$）。由电流连续性方程与欧姆定律微分形式求 $\rho(t)$，并分别计算铜（$\sigma=5.8\times10^{7}\ \mathrm{S/m}$，$\varepsilon\approx\varepsilon_0$）与蒸馏水（$\sigma=10^{-4}\ \mathrm{S/m}$，$\varepsilon=80\varepsilon_0$）的弛豫时间 $\tau=\varepsilon/\sigma$。

同轴电缆内导体半径 $a=1\ \mathrm{mm}$、外导体内半径 $b=5\ \mathrm{mm}$，内外导体之间填充电导率 $\sigma=10^{-4}\ \mathrm{S/m}$ 的弱导电介质（如受潮的聚乙烯）。电缆两端加电压 $U=100\ \mathrm{V}$。求单位长度漏电导 $G'$、单位长度漏电流 $I_l'$，并比较与同尺寸空气填充电容 $C'=2\pi\varepsilon/(\ln(b/a))$ 的对偶关系。

同轴电缆内导体半径 $a=1\ \mathrm{mm}$、外导体内半径 $b=5\ \mathrm{mm}$、外导体外半径 $c=7\ \mathrm{mm}$，内外导体均通有恒定电流 $I=10\ \mathrm{A}$（内导体沿 $+\hat{z}$，外导体沿 $-\hat{z}$ 返回），导体横截面电流均匀分布。求磁场强度 $H(r)$ 在四个区域的表达式，并给出 $r=0.5\ \mathrm{mm}$、$r=3\ \mathrm{mm}$、$r=6\ \mathrm{mm}$、$r=8\ \mathrm{mm}$ 处的数值。

半径 $R=0.1\ \mathrm{m}$ 的圆形线圈通有恒定电流 $I=5\ \mathrm{A}$，置于真空中。求圆心处及轴线上 $z=0.2\ \mathrm{m}$ 处的磁感应强度 $B$。$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$。

同轴电缆内导体半径 $a=1\ \mathrm{mm}$，外导体内半径 $b=5\ \mathrm{mm}$，外导体视为薄壳（仅计算外自感），介质区为真空。求单位长度外自感 $L'$ 与通有 $I=10\ \mathrm{A}$ 时单位长度所储磁场能量 $W'$。

长直螺线管长 $l=0.5\ \mathrm{m}$、截面积 $S=2\ \mathrm{cm^2}=2\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$、匝数 $N_1=200$，内部为空气（$\mu_r\approx 1$）。其外密绕一副线圈 $N_2=50$ 匝，与原线圈全长耦合。求两线圈互感 $M$。

一电子（电荷量 $e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$，质量 $m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$）以动能 $E_k=10\ \mathrm{keV}$ 垂直射入均匀磁场 $B=0.1\ \mathrm{T}$。求电子做圆周运动的回旋半径 $r$ 与周期 $T$。

半径 $r=5\ \mathrm{cm}$ 的单匝圆形线圈置于均匀磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。磁感应强度随时间变化 $B(t)=0.5\cos(100\pi t)\ \mathrm{T}$（$f=50\ \mathrm{Hz}$）。求线圈中的感应电动势 $\mathcal{E}(t)$ 与其峰值。

平行板电容器极板半径 $R=5\ \mathrm{cm}$，板间真空，恒定充电电流 $I=2\ \mathrm{A}$。求板间位移电流密度 $J_d$、通过整个极板面积的位移电流 $I_d$，并求板间半径 $r=3\ \mathrm{cm}$ 处的磁感应强度 $B$。

真空中一均匀平面波电场 $\mathbf{E}=100\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{x}\ \mathrm{V/m}$。求磁场 $\mathbf{H}$、瞬时坡印廷矢量 $\mathbf{S}$、平均坡印廷矢量 $\langle\mathbf{S}\rangle$，以及穿过垂直于 $z$ 轴、面积 $A=1\ \mathrm{m^2}$ 的平均功率。$\eta_0\approx 377\ \Omega$。

在无源（$\rho=0,\mathbf{J}=0$）、线性各向同性均匀介质（$\mu,\varepsilon$）中，假设磁场 $\mathbf{H}=H_0\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{y}$ 是方程组的解。用麦克斯韦两个旋度方程求电场 $\mathbf{E}$，并证明相位常数满足 $\beta^{2}=\omega^{2}\mu\varepsilon$。

对一段体积 $V$、边界 $S$ 内的有耗介质（$\sigma\neq 0$），坡印廷定理写为 $-\oint_S(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\!\left(\mathbf{J}_c\cdot\mathbf{E}+\mathbf{E}\cdot\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{H}\cdot\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V$。指出方程左、右各项的物理意义。一损耗介质中时谐平面波 $\mathbf{E}=\mathrm{Re}[E_0 e^{-\alpha z}e^{j(\omega t-\beta z)}]\,\hat{x}$，$\eta$ 为复本征阻抗，求单位体积时间平均焦耳耗散功率 $\langle p_d\rangle$。

真空中一均匀平面波电场为 $\mathbf{E}=120\pi\cos(6\pi\times10^{8}t-2\pi z)\,\hat{x}\ \mathrm{V/m}$。求角频率 $\omega$、频率 $f$、相位常数 $\beta$、波长 $\lambda$、相速 $v_p$、本征阻抗 $\eta$ 及磁场 $\mathbf{H}$。

频率 $f=100\ \mathrm{MHz}$ 的均匀平面波垂直入射到大块铜表面，铜 $\sigma=5.8\times10^{7}\ \mathrm{S/m}$，$\mu\approx\mu_0$。求趋肤深度 $\delta$、衰减常数 $\alpha$，并说明波的振幅在 $z=\delta$ 处衰减为原来的多少。

均匀平面波由空气（$\eta_1=\eta_0\approx 377\ \Omega$）垂直入射到无耗介质表面（$\mu_r=1$，$\varepsilon_r=4$）。求电场反射系数 $\Gamma$、电场透射系数 $\tau$、驻波比 $\mathrm{VSWR}$ 及功率透射系数 $T$。

两束沿 $+z$ 方向传播的均匀平面波，电场均由 $\hat{x}$、$\hat{y}$ 两分量叠加。判断下列各波的极化方式与旋向： (a) $\mathbf{E}_a=E_0\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{x}+E_0\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{y}$； (b) $\mathbf{E}_b=E_0\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{x}+E_0\cos(\omega t-\beta z+\tfrac{\pi}{2})\,\hat{y}$。

空气填充矩形波导宽边 $a=22.86\ \mathrm{mm}$，窄边 $b=10.16\ \mathrm{mm}$（标准 WR-90）。工作频率 $f=10\ \mathrm{GHz}$。求 TE₁₀ 模截止频率 $f_c$、截止波长 $\lambda_c$、波导波长 $\lambda_g$，并判断该频率下能否单模传输。

无耗均匀传输线特性阻抗 $Z_0=50\ \Omega$，终端接负载 $Z_L=(50+j100)\ \Omega$，工作波长 $\lambda$。求距负载 $l=\lambda/8$ 处的输入阻抗 $Z_{\text{in}}$。

空气填充矩形谐振腔尺寸 $a=2\ \mathrm{cm}$、$b=1\ \mathrm{cm}$、$d=3\ \mathrm{cm}$。求 $\mathrm{TE}_{101}$ 模（$m=1,n=0,p=1$）的谐振频率 $f_{101}$。

无耗均匀传输线特性阻抗 $Z_0=50\ \Omega$，终端接负载 $Z_L=100\ \Omega$（纯电阻），工作频率 $f=1\ \mathrm{GHz}$（$\lambda=0.3\ \mathrm{m}$）。求终端反射系数 $\Gamma_L$、电压驻波比 $\mathrm{VSWR}$、距负载 $l=\lambda/4$ 处的输入阻抗 $Z_{\text{in}}$，并指出该结果对阻抗匹配的启示。

空气填充矩形波导宽边 $a=22.86\ \mathrm{mm}$、窄边 $b=10.16\ \mathrm{mm}$（同 ex-wg-1），工作频率 $f=10\ \mathrm{GHz}$。已知 TE₁₀ 截止频率 $f_c\approx 6.56\ \mathrm{GHz}$。求相速 $v_p$、群速 $v_g$，并验证 $v_p\cdot v_g=c^{2}$；说明能量传播速度（信号速度）等于群速。

赫兹偶极子长度 $l=0.3\ \mathrm{m}$，工作频率 $f=100\ \mathrm{MHz}$（$\lambda=3\ \mathrm{m}$），馈电电流幅值 $I_0=1\ \mathrm{A}$。求辐射电阻 $R_r$ 与总辐射功率 $P$。

一副天线的方向性 $D=10$（即 $10\ \mathrm{dBi}$），工作频率 $f=3\ \mathrm{GHz}$。求该天线的最大有效面积 $A_e$。

一中心馈电的半波对称振子（臂长 $l=\lambda/2$），馈电电流（电流波腹处）幅值为 $I_0=2\ \mathrm{A}$。已知半波振子的辐射电阻 $R_r\approx 73\ \Omega$、方向性 $D\approx 1.64$。求该振子的总辐射功率 $P$ 与最大辐射方向上的功率密度（在 $r=1\ \mathrm{km}$ 处）。

一小圆环天线半径 $a=5\ \mathrm{cm}$、匝数 $N=20$、通幅值 $I_0=0.5\ \mathrm{A}$、频率 $f=10\ \mathrm{MHz}$ 的正弦电流。求磁偶极矩幅值 $m_0$、辐射电阻 $R_r$ 与辐射功率 $P$。空气介质，$\lambda=c/f=30\ \mathrm{m}$。

一通信链路：发射机功率 $P_t=1\ \mathrm{W}$，发射天线增益 $G_t=10\ \mathrm{dBi}$，接收天线增益 $G_r=15\ \mathrm{dBi}$，工作频率 $f=2.4\ \mathrm{GHz}$，收发距离 $R=2\ \mathrm{km}$。用弗里斯传输方程求接收功率 $P_r$。若接收机最低灵敏度为 $-80\ \mathrm{dBm}$，链路是否可用？